ব্যবহারিক জ্যামিতি (সপ্তম অধ্যায়)

আমরা আমাদের চারদিকে নানা আকৃতি ও আকারের জিনিস দেখি। এগুলোর কোনোটি বর্গাকার, কোনোটি আয়তাকার, আবার কোনোটি বৃত্তাকার। এই অধ্যায়ে আমরা এ সকল জিনিসের চিত্র আঁকতে শিখব। অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• একটি নির্দিষ্ট রেখাংশকে পরিমাপ করতে পারবে।
• প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে রেখাংশ অঙ্কন করতে পারবে।
• বিভিন্ন মাপের কোণের চিত্র অঙ্কন করতে পারবে।

আমরা জ্যামিতিক অঙ্কনের কিছু যন্ত্রের ব্যবহার করব। অঙ্কন কাজে সাধারণত নিচের যন্ত্রগুলো থাকে:

	নাম, চিত্র ও ব্যবহার	বর্ণনা
১.	রুলার রেখাংশ আঁকা, রেখাংশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা	রুলারের দুই দিকে ইঞ্চি ও সেন্টিমিটার স্কেল অনুযায়ী দাগ কাটা থাকে। প্রত্যেক ইঞ্চিকে ১০ ভাগ বা ১৬ ভাগ করে ও সেন্টিমিটারকে ১০ ভাগে অর্থাৎ ১ মিলিমিটার করে ছোট ছোট দাগাঙ্কিত থাকে।
২.	পেন্সিল কম্পাস সমান দৈর্ঘ্য চিহ্নিত করা, বৃত্ত আঁকা	পেন্সিল কম্পাসের দুইটি বাহুর একটির একপ্রান্তে একটি কাঁটা এবং অন্য বাহুর এক প্রান্তে পেন্সিল আটকানোর ব্যবস্থা রয়েছে। বাহু দুইটির অপর প্রান্তদ্বয় ক্রু দিয়ে এমনভাবে আটকানো থাকে যেন সহজে বাহু দুইটির মধ্যে দূরত্ব বাড়ানো বা কমানো যায়।
৩.	কাঁটা কম্পাস	কাঁটা কম্পাসের দুইটি বাহুর প্রতিটির একপ্রান্তে একটি করে কাঁটা রয়েছে। বাহু দুইটির অপর প্রান্তদ্বয় একত্রে স্ক্রু দিয়ে এমনভাবে আটকানো থাকে যেন সহজে বাহু দুইটির মধ্যে দূরত্ব ইচ্ছেমতো বাড়ানো বা কমানো যায়।
৪.	ত্রিকোণী	ত্রিকোণী দুইটির প্রতিটির একটি কোণ সমকোণ। প্রথম ত্রিকোণীর অপর কোণ দুইটির প্রত্যেকটি কোণ ৪৫°। দ্বিতীয় ত্রিকোণীর অপর কোণ দুইটির একটি কোণ ৬০°। ত্রিকোণীদ্বয়ের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি সেন্টিমিটার স্কেলে দাগাঙ্কিত।
৫.	চাঁদা	চাঁদা অর্ধবৃত্তাকার। অর্ধবৃত্তের বক্ররেখাটি সমান ১৮০ ভাগ করা আছে। প্রতি দশ ভাগ অন্তর ০ থেকে শুরু করে ১০, ২০, ৩০,..., ১৮০ সংখ্যাগুলো ডান থেকে বামে ও বাম থেকে ডানে লেখা রয়েছে।

জ্যামিতিক চিত্র আঁকার সময় লক্ষ রাখবে:

সরলরেখা সূক্ষ্মভাবে আঁকবে এবং বিন্দুসমূহ হালকাভাবে চিহ্নিত করবে।
যন্ত্রের অগ্রভাগ যেন তীক্ষ্ণ এবং ধারগুলো মসৃণ থাকে।
বাক্সে দুইটি সুচালো ধারযুক্ত পেন্সিল থাকবে, একটি পেন্সিল কম্পাসে অন্যটি সাধারণ অঙ্কনের জন্য।

সম্পাদ্য ১। নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের রেখাংশ আঁকতে হবে।

মনে করি, আমাদের 4.7 সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের রেখাংশ আঁকতে হবে। রুলারের সাহায্যে 4.7 সে.মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি এবং সংযোগ রেখা আঁকি। নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে রুলারের ও কম্পাসের সাহায্যে নিখুঁতভাবে রেখাংশ আঁকা যায়।

১. একটি রেখাংশ আঁকি। এর উপর একটি বিন্দু A নিই।

২. কাঁটা কম্পাসের একটি অগ্রভাগ রুলারের 0 দাগে স্থাপন করি এবং প্রয়োজন মতো ফাঁক করে অপর কাঁটার অগ্রভাগ 4.7 সে.মি. দাগে বসাই।

৩. কাঁটা কম্পাসটি সাবধানে তুলে নিয়ে A বিন্দুতে বসিয়ে রেখাংশ বরাবর অপর কাঁটা দ্বারা B বিন্দুকে চিহ্নিত করি।

৪. AB রেখাংশের দৈর্ঘ্য 4.7 সে.মি.।

সম্পাদ্য ২। প্রদত্ত রেখাংশের সমান করে রেখাংশ আঁকতে হবে।

রুলারের সাহায্যে:

মনে করি AB একটি রেখাংশ। AB রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁকতে হবে। একটি সহজ পন্থা হলো রুলারের সাহায্যে AB রেখাংশের দৈর্ঘ্য মাপা এবং পূর্বের ন্যায় নতুন রেখাংশ CD আঁকা। এ পদ্ধতিতে সর্বদা সঠিক ফল পাওয়া যায় না।

রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে –

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:

১. AB রেখাংশ আঁকি (সুবিধামতো দৈর্ঘ্য নিয়ে)।
২. পেন্সিল কম্পাসের কাঁটার দিক A বিন্দুতে এবং পেন্সিলের দিক B বিন্দুতে বসাই।

৩. যেকোনো রশ্মি CE নিই। C কে কেন্দ্র করে কম্পাসের সাহায্যে AB রেখাংশের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি CE কে D বিন্দুতে ছেদ করে। CD রেখাংশই AB রেখাংশের সমান।

সম্পাদ্য ৩। একটি নির্দিষ্ট রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

মনে করি, AB একটি নির্দিষ্ট রেখাংশ। একে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।
নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:

১. AB রেখাংশ আঁকি।

২. A কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর দুই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।

৩. B কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

৪. C ও D যোগ করি। CD রেখাংশ AB রেখাংশকে বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।

আমরা জেনেছি যে, দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখা (বা রশ্মি বা রেখাংশ) পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের অন্তর্গত কোণগুলো সমকোণ হয়। তোমার বইয়ের ধার নির্দেশিত রেখাগুলো কোনাতে সমকোণে মিলিত হয়েছে।

নিজে করি: এক টুকরো কাগজ মাঝ বরাবর ভাঁজ করি। ভাঁজ করা কাগজটি পুনরায় মাঝ বরাবর ভাঁজ করি। এবার কাগজের টুকরা খুলে দেখি ভাঁজ বরাবর দাগগুলো পরস্পর লম্ব।

সম্পাদ্য ৪। একটি সরলরখার নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুতে একটি লম্ব আঁকতে হবে।
পদ্ধতি ১। (ত্রিকোণী বা সেটস্কোয়ার ও রুলারের সাহায্যে)

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি-

১। মনে করি, AB সরলরেখা রেখাটির ওপর একটি বিন্দু P নিই।

২। AB রেখা বরাবর রুলারের একটি ধার স্থাপন করি এবং খাড়াভাবে ধরে রাখি।

৩। রুলার বরাবর ত্রিকোণীর একটি ধার এমনভাবে বসাই যেন এর সমকোণ সংলগ্ন কৌণিক বিন্দুটি P বিন্দুর সাথে মিলে যায়।

৪। ত্রিকোণীটি খাড়াভাবে ধরে রেখে PQ রেখাংশ আঁকি। PQ রেখাংশ AB রেখার ওপর লম্ব। PQ $\perp$ AB.

লক্ষ করি: লম্ব বুঝাতে $\perp$ চিহ্নটি ব্যবহার করা হয়।

পদ্ধতি ২। (রুলার-কম্পাস পদ্ধতি)

রুলার-কম্পাস পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে লম্ব আঁকা যায়।

১। মনে করি, P একটি সরলরেখার উপর একটি বিন্দু।

২। P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা সরলরেখাকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে।

২। P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা সরলরেখাকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে।

৩। A ও B কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।

৪। P,Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB রেখার উপর P বিন্দুতে লম্ব। PQ $\perp$ AB.

পদ্ধতি ৩। বুলার-কম্পাসের দ্বিতীয় পদ্ধতি:

রুলার-কম্পাসের সাহায্যে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করেও লম্ব আঁকা যায়।

১। মনে করি, AB একটি সরলরেখা এবং এর উপর P একটি বিন্দু।

২। P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

৩। C কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করে। আবার D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

৪। E ও D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি Q বিন্দুতে ছেদ করে।

৫। Q.P যোগ করি। QP রেখাংশ AB রেখার উপর P বিন্দুতে লম্ব। QP $\perp$ AB।

সম্পাদ্য ৫। একটি সরলরেখার বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ রেখার উপর একটি লম্ব আঁকতে হবে।

পদ্ধতি ১। রুলার ও ত্রিকোণীর সাহায্যে

বুলার ও ত্রিকোণীর সাহায্যে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে লম্ব আঁকা যায়।

১। মনে করি, AB একটি সরলরেখা এবং P তার বহিঃস্থ একটি বিন্দু।

২। AB এর যে পাশে P বিন্দু আছে তার বিপরীত পাশে একটি ত্রিকোণী বসাই যেন তার সমকোণ সংলগ্ন একটি ধার AB সরলরেখা বরাবর বসে।

৩। ত্রিকোণীর সমকোণের বিপরীত ধার বরাবর একটি রুলার বসাই।

৪। রুলারটি শক্ত করে ধরে ত্রিকোণীটি রুলার বরাবর এমনভাবে সরাই যেন P বিন্দুটি ত্রিকোণীর অন্য ধারকে স্পর্শ করে।

৫। P বিন্দু থেকে বাহুটি বরাবর রেখাংশ আঁকি যা AB রেখাকে M বিন্দুতে ছেদ করে। এখন PM $\perp$ AB ।

পদ্ধতি ২। রুলার-কম্পাস পদ্ধতিতে নিচের ধাপসমূহ অনুসরণ করে বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে লম্ব আঁকা যায়।

১। মনে করি, AB একটি সরলরখা এবং P তার বহিঃস্থ একটি বিন্দু।

২। P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা AB রেখাকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে।

৩। X ও Y কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর যে পাশে P আছে তার বিপরীত পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর বিন্দুতে ছেদ করে।

৪। P,Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB এর উপর লম্ব।

সম্পাদ্য ৬। চাঁদার সাহায্যে 40° কোণ আঁকতে হবে।

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে চাঁদার সাহায্যে 40° কোণ আঁকা যায়।

১। যেকোনো রশ্মি AB আঁকি।

২। চাঁদার কেন্দ্র A বিন্দুতে বসাই এবং এর সরল ধার AB বরাবর বসাই।

৩। ডানদিক থেকে চাঁদার স্কেলে 40° নির্দেশক দাগের উপরে একটি বিন্দু C চিহ্নিত করি।

৪। চাঁদাটি সরিয়ে AC রশ্মি আঁকি। ∠BAC কোণের পরিমাণ 40° ।

সম্পাদ্য ৭। প্রদত্ত কোণের সমান একটি কোণ আঁকতে হবে।

মনে করি, ∠ A দেওয়া আছে। এর সমান একটি কোণ আঁকতে হবে।
নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:

১। যেকোনো একটি রশ্মি PQ নিই।

২। প্রদত্ত angle A এর A বিন্দুতে পেন্সিল কম্পাসের কাঁটা স্থাপন করি এবং যেকোনো ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকি যা ∠ A এর রশ্মিগুলোকে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

৩। একই ব্যাসার্ধ নিয়ে P কে কেন্দ্র করে বৃত্তচাপ আঁকি যা রশ্মিটিকে বিন্দুতে ছেদ করে।

৪। Q কে কেন্দ্র করে BC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি। এ বৃত্তচাপটি আগের বৃত্তচাপকে R বিন্দুতে ছেদ করে।

৫। P, R যোগ করে বর্ধিত করি। ফলে, ∠ RPQ তৈরি হলো। ∠ RPQ এর মান ∠ A এর সমান।

সম্পাদ্য ৮: একটি নির্দিষ্ট কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

মনে করি, ∠ BAC একটি নির্দিষ্ট কোণ। রুলার-কম্পাসের সাহায্যে কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

১। A বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি কোণের রশ্মিগুলোকে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

২। B কে কেন্দ্র করে BC এর অর্ধেকের চেয়ে বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।

৩। C বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এ বৃত্তচাপটি আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করে। A, D যোগ করি। AD রেখাংশ ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক।

বিশেষ মাপের কোণ অঙ্কন

চাঁদা ব্যবহার না করেও কিছু বিশেষ মাপের কোণ আঁকা যায়। যেমন, 60°, 120°, 30°, 45° ইত্যাদি।

সম্পাদ্য ৯। 60° কোণ আঁকতে হবে।

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি:

১। একটি সরলরেখার উপর বিন্দুচিহ্নিত করি।

২। পেন্সিল কম্পাসের কাঁটাটি O বিন্দুতে রেখে সুবিধাজনক ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি সরলরেখাটিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

৩। A কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি B বিন্দুতেছেদ করে।

81 O, B যোগ করি। ∠BOA এর মান 60°।

১।২৪ কোণের সম্পূরক কোণ কত?
(ক) 62°
(খ) 118°
(গ) 152°
(গ) 332

২।37° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
(ক) 53°
(খ) 37°
(গ) 127°
(গ) 143°

৩। দুইটি কোণ পরস্পর পূরক হলে এদের সমষ্টি কত?
(ক) ৩৬০°
(খ) ১৮০°
(গ) ৯০°
(ঘ) ৮০°

৪। ত্রিকোণীয় একটি কোণ ৪৫° হলে অপর বৃহত্তর কোণটি কত?
(ক) ৩৬০°
(খ) ১৮০°
(গ) ৯০°
(ঘ) ৮০°

৫। সম্পাদ্যের ক্ষেত্রে-
(i) যা দেওয়া থাকে তাই উপাত্ত
(ii) যা করণীয়, তাই অঙ্কন
(iii) যুক্তি দ্বারা অঙ্কন করা হলো প্রমাণ
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

উপরের চিত্রের আলোকে (৬-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
৬। ∠a = কত?
(ক) ৩০°
(খ) ৪০°
(গ) ৫০°
(ঘ) ৯০°

৭। ∠a+b = কত?
(ক) ৪০°
(খ) ৫০°
(গ) ৬০°
(ঘ) ৯০°

৮। ∠c = কত?
(ক) ৯০°
(খ) ১৩০°
(গ) ১৬০°
(ঘ) ১৮০°

৯। চাঁদার সাহায্যে আঁকা যায়-
(i) ৪৫° ডিগ্রি কোণ
(ii) ১৫৫° কোণ
(iii) বৃত্ত
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

১০। রুলারের সাহায্যে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। এবার রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক।

১১। রুলারের সাহায্যে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত কর। দ্বিখণ্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখ তারা সমান হয়েছে কিনা।

১২। রুলারের সাহায্যে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ কর।

১৩। 7 সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে রুলার-কম্পাসের সাহায্যে একটি নির্দিষ্ট লম্ব আঁক।

১৪। ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁক।

১৫। AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁক। আবার CD রেখার উপর একটি বিন্দু E লও। এবার E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁক।

১৬। চাঁদা ব্যবহার না করে 45° কোণটি আঁক।

১৭। ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো আঁক। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে ঐ রেখাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত কর।

১৮। পাশের চিত্রে,

ক. ∠ABC এর সম্পূরক কোণ কোনটি?

খ. ∠ACB এর মান কত এবং কেন?

গ. প্রমাণ কর যে, ∠DCE + ∠ECB = 180°.

১৯। পাশের চিত্রে,

ক. ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ কোনটি?

খ. ∠AOB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে সন্নিহিত কোণ দুইটির সাধারণ বাহু নির্দেশ কর।

গ. প্রমাণ কর যে, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডক একই সরলরেখায় অবস্থিত।

২০। চিত্রে ∠ABC = 90°

(ক) ত্রিভুজের তিনটি কোনের সমষ্টিকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) ∠ABC কে সমদ্বিখণ্ডিত কর এবং অংকনের বিবরণ দাও।
(গ) x কোণের সমান করে একটি কোণ আঁক এবং বিবরণ দাও।